Распределение Пуассона
Распределение Пуассона часто встречается в задачах, связанных с потоком событий.
Под потоком событий будем понимать последовательность событий, наступающих одно за другим в случайные моменты времени.
Примерами могут быть: поток вызовов на телефонной станции, поток заявок в системе массового обслуживания, последовательность распада частиц некоторого количества радия и др.
Простейший поток событий характеризуется следующими свойствами:
а) вероятность наступления того или иного числа событий за любой промежуток времени зависит только от длительности этого промежутка (а не от начала отсчета);
б) указанная вероятность не зависит от того, какое число событий наступило до начала рассматриваемого промежутка времени (отсутствие последствия);
в) за малый промежуток времени вероятность наступления одного события приближенно пропорциональна длительности такого промежутка, а вероятностью наступления двух или более событий можно пренебречь.
В качестве случайной величины X мы рассмотрим число событий простейшего потока, наступающих за фиксированный промежуток времени t.
Значениями этой случайной величины могут быть любые целые числа
m = 0, 1, 2, 3, ...
Соответствующие вероятности обозначим через
pm(t) есть вероятность того, что за фиксированный промежуток m времени t наступит ровно m событий простейшего потока.
Пусть
В результате несложных математических рассуждений приходим, что в пределе при
Решая это уравнение при начальном условии p0(0) = 1, находим искомую вероятность отсутствия событий за промежуток времени t;
Нетрудно получить и общую формулу для расчета вероятностей
Эта формула и дает закон распределения случайной величины X - числа событий простейшего потока, наступающих за промежуток времени t.
Статистический смысл параметра
мы можем толковать его правую часть как относительную частоту наступления некоторого события простейшего потока за промежуток времени наблюдения
Обычно произведение
Этот закон распределения и называют законом распределения Пуассона или законом редких явлений.
Замечание. При малых значениях p и больших значениях n распределение Пуассона может быть применено в качестве приближенного значения для биномиального распределения.
Обозначим np = a, тогда p = a/n, q = 1 - p = 1 - a/n. Разложим вероятность
Первый член этого разложения дает как раз вероятность в распределении Пуассона, откуда и следует приближенная (асимптотическая) формула
второй член в скобках может служить для оценки относительной погрешности этой приближенной формулы:
Составим процедуру для вычисления вероятности по формуле Пуассона.
Для этого выведем рекуррентную формулу для вычисления вероятности:
отсюда получаем соотношение:
При m = 0, получим
Пользуясь этими двумя формулами легко составить функцию вычисления вероятностей по формуле Пуассона.
{ Функция вычисления вероятности распределения Пуассона }
Function PS(m : integer; a : real) : real;
var
i : integer;
pp : real;
begin
pp := exp(-a);
if m = 0 then pp := exp(-a)
else for i := 1 to m do pp := pp*a/i;
PS := pp
end;
Составим программы решения следующих задач, используя эту процедуру.
Пример 1. Вероятность изделию быть бракованным равна 0.05. Найти вероятность того, что среди 1000 изделий 40 бракованных.
{ Распределение Пуассона }
Program Problem1;
uses WinCrt;
var
n, m : longint;
p, a : real;
{----------------------------------------------------------------------------------------}
{ Функция вычисления вероятности распределения Пуассона }
Function PS(m : integer; a : real) : real;
var
i : integer;
pp : real;
begin
pp := exp(-a);
if m = 0 then pp := exp(-a)
else for i := 1 to m do pp := pp*a/i;
PS := pp
end;
{----------------------------------------------------------------------------------------}
{ Основная программа }
begin
write('Введите общее число изделий '); readln(n);
write('Введите вероятность изделия быть бракованным '); readln(p);
writeln('Введите число бракованных изделий, вероятность ');
write('появления которых Вы находите '); readln(m);
a := n*p;
writeln('Вероятность ', m, ' бракованных изделий в ');
writeln('партии из ',n, ' изделий равна ', PS(m, a):1:6)
end.
Пример 2. Вероятность сбить самолет одним выстрелом из винтовки в определенных условиях равна 0.003. Определить вероятность поражения самолета, если сделано по одному выстрелу из 300 винтовок.
{ Распределение Пуассона }
Program Problem2;
uses WinCrt;
var
n : longint;
p, a : real;
{----------------------------------------------------------------------------------------}
{ Функция вычисления вероятности распределения Пуассона }
Function PS(m : integer; a : real) : real;
var
i : integer;
pp : real;
begin
pp := exp(-a);
if m = 0 then pp := exp(-a)
else for i := 1 to m do pp := pp*a/i;
PS := pp
end;
{---------------------------------------------------------------------------------------}
begin
write('Введите общее число выстрелов '); readln(n);
write('Введите вероятность попадания при одном выстр. ');
readln(p);
a := n*p;
write('Вероятность поражения самолета при ');
writeln(n, ' выстрелах равна ', (1 - PS(0, a)):1:6)
end.
Пример 3.
Прибор состоит из 200 деталей, каждая из которых за время t может выйти из строя с вероятностью p = 0.01.
Найти вероятность того, что за время t выйдут из строя: а) 3 детали; б) не более трех деталей; в) не менее двух деталей; г) от двух до четырех деталей включительно.
{ Распределение Пуассона }
Program Problem3;
uses WinCrt;
var
n, m, i : longint;
p, a, Sum : real;
{----------------------------------------------------------------------------------------}
{ Функция вычисления вероятности распределения Пуассона }
Function PS(m : integer; a : real) : real;
var
i : integer;
pp : real;
begin
pp := exp(-a);
if m = 0 then pp := exp(-a)
else for i := 1 to m do pp := pp*a/i;
PS := pp
end;
{----------------------------------------------------------------------------------------}
begin
write('Введите общее число деталей '); readln(n);
write('Введите вероятность выхода изделия из строя '); readln(p);
writeln('Введите число изделий, вероятность выхода из');
write('строя которых Вы находите '); readln(m); writeln;
a := n*p;
Sum := 0;
for i := 0 to 3 do Sum := Sum + PS(i, a);
writeln('Вероятность того, что за указанное время ');
write('выйдет из строя ',m, ' изделия равна ');
writeln(PS(m, a):1:6);
writeln('не более ',m, ' изделий ', Sum:1:6);
Sum := 0;
for i := 0 to 1 do Sum := Sum + PS(i, a);
Sum := 1 - Sum;
writeln('выйдет из строя не менее 2 деталей ', Sum:1:6);
Sum := 0;
for i := 2 to 4 do Sum := Sum + PS(i, a);
writeln('выйдет из строя от 2 до 4 деталей ', Sum:1:6)
end.
Пример 4. При контролируемом производственном процессе доля брака равна 0.02. При обнаружении в партии из 150 изделий более 5 бракованных изделий вся партия задерживается. Определить вероятность того, что партия будет принята.
{ Распределение Пуассона }
Program Problem4;
uses WinCrt;
var
n, m, i : longint;
p, a, PP : real;
{----------------------------------------------------------------------------------------}
{ Процедура вычисления вероятности распределения Пуассона }
Function PS(m : integer; a : real) : real;
var
i : integer;
pp : real;
begin
pp := exp(-a);
if m = 0 then pp := exp(-a)
else for i := 1 to m do pp := pp*a/i;
PS := pp
end;
{----------------------------------------------------------------------------------------}
{ Основная программа }
begin
write('Введите общее число изделий '); readln(n);
write('Введите вероятность изделия быть бракованным ');
readln(p);
writeln('Введите число бракованных изделий, вероятность ');
write('появления которых Вы находите '); readln(m);
a := n*p;
PP := 0;
for i := 0 to m do PP := PP + PS(i, a);
writeln('Вероятность ', m, ' бракованных изделий в ');
writeln('партии из ',n, ' изделий равна ', PP:1:6)
end.
