Задача Бюффона
Пример 5. На большой лист клетчатой бумаги со стороной клетки 1 случайно бросают точку. Какова вероятность, что она будет находиться на расстоянии меньше 1/2 от центра некоторой клетки?
Математическая схема решения
Достаточно рассмотреть одну клетку. Точки, находящиеся на расстоянии не более 1/2 от ее центра, заполняют круг площади 
Эту задачу можно использовать для вычисления числа
Для этого задачу можно перефразировать так:
"На большой лист клетчатой бумаги со стороной клетки 1 случайно бросают точки. Вычислить значение числа
Для решения и этой задачи достаточно рассмотреть одну клетку.
Впишем в эту клетку окружность, радиус которой будет равен 1/2. Построим систему координат с началом в центре, вписанной в клетку окружности (см. рис. 35). Тогда площадь круга равна
Площадь квадрата равна S2 = 1.
Рис. 35
Как мы уже выяснили из предыдущей задачи вероятность того, что точка попадет в круг равна отношению площади круга к площади квадрата:
Мы можем "заставить" компьютер "бросать" в квадрат точки и подсчитать число всех точек и тех, которые попадут в круг.
Тогда вероятность определить просто, - надо будет найти отношение числа точек, попавших в круг к общему числу "брошенных" точек. Это значение и даст нам искомую вероятность.
Будем "бросать" в этот квадрат точки. Их координаты должны быть заключены в промежутке от -1/2 до 1/2 и могут задаваться функциями случайных чисел:
x := random - 1/2 и y := random - 1/2.
Координаты точек, которые попадают в круг должны удовлетворять неравенству:
Пусть общее число "брошенных" точек - n, а число точек попавших в круг - m, тогда, вероятность попадания точек в круг будет равна отношению числа точек, попавших в него, к общему числу брошенных точек: p := m/n.
Отсюда получаем, что S1/S2= m/n или
Таким образом, мы получаем способ для вычисления числа
Программа
Program Problem5;
uses WinCrt;
var
x, y, p, e, pp : real;
i, n, m : longint;
{----------------------------------------------------------------------------------------}
{ Интегральная функция Муавра-Лапласа }
Function FF(x : real) : real;
var
n : integer;
u, I : real;
begin
if x >= 5
then FF := 1
else if x <= -5
then FF := -1
else
begin
u := x; n := 0; I := 0;
repeat
I := I + u;
n := n + 1;
u := -u*(x*x*(2*n - 1)/(2*n*(2*n + 1)))
until abs(u) < 0.00001;
FF := 2*I/sqrt(2*Pi)
end
end;
{----------------------------------------------------------------------------------------}
{ Процедура вычисления числа испытаний при заданной гарантиро- }
{ ванной вероятности и заданной точности частости }
Procedure
NumberExperiment(e, PP : real; var n : longint);
var
x : real;
begin
n := 0;
repeat
n := n + 1;
x := 2*e*sqrt(n)
until FF(x) >= PP
end;
{----------------------------------------------------------------------------------------}
begin
randomize;
write('Введите гарантированную вероятность '); readln(PP);
write('Введите точность вычисления '); readln(e);
NumberExperiment(e, PP, n);
m := 0;
for i := 1 to n do
begin
x := random - 1/2; y := random - 1/2;
if x*x + y*y <= 1/4 then m := m + 1
end;
p := 4*m/n;
writeln('Значение числа Pi равно ', p:8:6);
writeln('С точностью до ', e:1:6);
writeln('С гарантированной вероятностью ', PP:1:4);
writeln('При числе испытаний ', n)
end.
Пример 6. (задача Бюффона об игле). Плоскость разлинована на полосы шириной 1. На нее бросают иглу (отрезок) длиной 1. Какова вероятность, что игла пересечет одну из линий? (См. рисунки 36, 37 и 38).
Решение
У этой задачи удивительный ответ:
Наметим коротко одно из решений. Положение иглы (если не говорить о смещении ее вдоль линий, очевидно, не играющем роли) определяется двумя параметрами: расстояние y конца иглы от верхнего края полосы, в которую он попал
Рис. 36
Можно считать, по соображениям симметрии, что
полученной фигуры к площади S2 прямоугольника
Рис. 37
И тогда, вероятность того, что игла пересечет одну из линий будет равна:
С другой стороны, вероятность пересечения иглой одной из линий будет равна отношению числа пересечений к общему числу "бросаний" иглы: p = m/n. Приравнивая значения вычисленных вероятностей по первому и по второму способам, получим:
Выясним случайные координаты иглы, - угла
Как определить величину угла
Для этого расположим систему координат так, чтобы ее начало совпадало с концом иглы, ось OX была параллельна, проведенным прямым. Возьмем на игле две произвольные точки A и B, их координаты соответственно равны (x1, y1) и
Отсюда, значение угла
Чтобы игла пересекала хотя бы одну линию надо, чтобы y удовлетворял условию:
Рис. 38
Программа
Program Problem6;
uses WinCrt;
var
x1, x2, y1, y2, y, p, e, pp : real;
i, n, m : longint;
{----------------------------------------------------------------------------------------}
{ Интегральная функция Муавра-Лапласа }
Function FF(x : real) : real;
var
n : integer;
u, I : real;
begin
if x >= 5
then FF := 1
else if x <= -5
then FF := -1
else
begin
u := x; n := 0; I := 0;
repeat
I := I + u;
n := n + 1;
u := -u*(x*x*(2*n - 1)/(2*n*(2*n + 1)))
until abs(u) < 0.00001;
FF := 2*I/sqrt(2*Pi)
end
end;
{----------------------------------------------------------------------------------------}
{ Процедура вычисления числа испытаний при заданной гарантиро- }
{ ванной вероятности и заданной точности частости }
Procedure
NumberExperiment(e, PP : real; var n : longint);
var
x : real;
begin
n := 0;
repeat
n := n + 1;
x := 2*e*sqrt(n)
until FF(x) >= PP
end;
{----------------------------------------------------------------------------------------}
begin
randomize;
write('Введите гарантированную вероятность '); readln(PP);
write('Введите точность вычисления '); readln(e);
NumberExperiment(e, PP, n);
m := 0;
for i := 1 to n do
begin
x1 := random; x2 := random;
y1 := random; y2 := random; y := random;
if y < cos(arctan((x1 - x2)/(y1 - y2))) then m := m + 1
end;
p := 2*n/m;
writeln('Значение числа Pi равно ', p:8:6);
writeln('С точностью до ', e:1:6);
writeln('С гарантированной вероятностью ', PP:1:4);
writeln('При числе испытаний ', n)
end.
Задание 19
Отрезок разделён на три равные части. Какова вероятность, что три точки, случайно брошенные на отрезок, попадут в три разные кусочка? Составьте программу.
